Здравей
Потребител:

Парола:


Помни ме

[ ]
[ ]
[ ]
Онлайн
Гости: 1
Регистрирани: 0
На тази странница: 1
Регистрирани: 479, най-новият: eth
counter
Tyxo.bg counter


website tracker
Парадоксът на Ръсел
Винаги сме искали да запознаем Ворукса с Парадокса на Ръсел, но все не ни остава време. Представяме си го по следния начин:
Ние: Воруксе, това е Парадокса на Ръсел!
Ворукс: Приятно ми е, Парадоксе, аз съм Ворукса.
Ние: Парадоксе на Ръсел, това е Ворукса!
Парадокса на Ръсел: Приятно ми е, Воруксе, аз съм Парадокса на Ръсел.


[Публикувано от rambius]

Кои са участниците в този приятен, макар и въображаем разговор? Ворукса всички го знаем кой е и ние нямаме какво да добавим, освен че е сигурно единственият юрист, който би разбрал Парадокса на Ръсел (в противен случай нямаше да ги запознаваме (а всъщност като си мислим за тях, се празним в гащите от кеф (нещо много станаха скобите, но понеже сме на математическа тематика ще си слагаме колко си искам скоби включително и празни такива, което в логическото програмиране означва празен списък или списък без елементи: (). Обърнете внимание на понятието "празен" (това няма връзка с горното изпразване) - след малко ще се опитаме да го дефинираме малко по-прецизно))(спираме вече със скобите (наистина!)))).

Кой обаче е Парадоксът на Ръсел? Парадоксът на Ръсел е предметът на настоящия текст. Скивахте ли "тафтологията" - Парадоксът на Ръсел е това, за което говори статията за Парадокса на Ръсел. Възможно ли е нещо да се определи чрез себе си? И ако е възможно, кога е възможно? Ако искате да разберете, продължавайте да четете, ако не искате - ignorantia felicitas est, osculum meum asinum. Простете за лошия латински.

И така, Парадоксът на Ръсел е логическо противоречие в наивната теория на множествата. А какво е теория на множествата? Теорията на множествата е основана от немския математик Георг Кантор. Първоначално той разглежда съвкупности от числа (цели, рационални, ирационални, реални и прочие). Впоследствие забелязва, че някои от свойствата им могат да се формулират без да се използва "числената" природа на елементите им и така въвежда понятие за множество от произволни елементи.

А какво е множество? Интуитивното обяснение е съвкупност от някакви обекти. Можем да опишем едно множество чрез елементите, които то съдържа. Принадлежността на даден обект към множество е крайъгълно логическо свойство, а знакът за принадлежност прилича на е-оборотное, което в момента няма как да напиша, затова ще означавам с \in. Ако елементът а принадлежи на множеството А, ще пишем а \in A; ако а не принадлежи на А, ще пищем а \not \in A. Ако всеки елемент на множеството А e елемент на множеството В, казваме, че А е подмножество на В. Явно е, че ако А е подмножество на В и В е подмножество на A, то елементите на А и B съвпадат и тогава казваме, че А е равно на В, А = В. В тази наша теория на множествата всичко е множество, имаме само множества и нищо друго.

А как конструираме множества? Според Кантор ако имаме логическо свойство р(х), то всички обекти х, за които p(x) e вярно, образуват множество Р. Написано що годе формално, P = {x | p(x)} или x \in P <=> p(x), или казано на български x принадлежи на P тогава и само тогава когато p(x). Звучи ли ви логично? Вероятно да. Да, ама не! Самият Кантор е получавал понякога противоречия в разработките си. Те обаче били във висшите клонове и е успявал да ги избегне по един или друг начин. Било му е ясно, обаче че нещо някъде му куца в теорията.

Ценното на Ръселовия Парадокс не е, че е парадокс, а че е формулиран само с базисното понятия "принадлежност" и така показва, че има проблем в основите. Ръсел формулира следното свойство: r(x) = x \not \in x, т.е. r(x) е изпълнено тогава и само тогава x не принадлежи на x. Вероятно читателите, неизкушени от математиката или логиката (демек галфоните) се питат ама как така хикс да не принадлежи на хикс. Позволяваме си да напомним, че в нашата теория всичко е множество включително и хикса х по-горе. Бидейки множество, то съдържа евентуално някакви елементи. x не принадлежи на x чисто и просто значи, че х не съдържа себе си като елемент. Много е трудно да се обяснява на галфони, но дано поне да сте забелязали "тафтологията" пак.

И така, вече разбрахме какво значи x да не принадлежи на х и имаме ръселовото свойство r(x). Според Кантор щом имаме свойство, то обектите, които го изпълняват, образуват множество. Да конструираме чрез ръселовото свойство r(x) ръселовото множество:

R = {x | r(x)}.

За самото R имаме две възможности: или R принадлежи на R, или R не принадлежи на R. Да ги разгледаме по отделно:

1) Да допуснем, че R принадлежи на R: R \in R. Следователно R изпълнява ръселовото свойство, т.е. r(R) е вярно, а от дефиницията на r получаваме, че R не принадлежи на R.
2) Да допуснем, че R не принадлежи на R: R \not \in R. Тогава пак от дефиницията на r, получаваме, че R изпълнява r, т.е. r(R) e вярно. Следователно R принадлежи на R.

Проблемът идва от това, че Канторовата наивна теория на множествата ни позволява прекланено голяма свобода при конструиране на множества. Формулирани са два начина за избягване на Парадокса (и редица други противоречия). Единият е Ръселовата теория на типовете, според която множествата се организират в йерархии. Грубо казано множество от по-горна йерархия може да съдържа само множества от по-долни йерархии. Другият подход е Аксиоматичната Система на Цермело-Френкел.

Понятието за аксиома би трябва да е познато на всеки изкарал 7ми клас (не си спомняте ли? ми как ще си спомняте, като сте галфони), защото тогава се формулира Петата Аксиомата на Евклид за успоредни прави - през точка нележаща на права минава само една права успоредна на дадената. Това твърдение в равнинната геометрия се постулира заради нагледността му. Да вземем обаче не равнина, а повърхнина и разширим понятието права свързваща две точки до (геодезична) линия между тези две точни, чиято дължина е най-малка. Тогава Петата Аксиома може и да не е вярна. Нагледен пример: София и Ню Йорк се намират на един и същи паралел. Да речем, че пътуваме със самолет от София до Ню Йорк (разбира се пътуваме с Lufthansa, а не с Air France, защото с последните може даже и да не излетим). Най-късата линия не е паралелът, който ги свързва. Най-късата линията е частта от окръжността минаваща през София и Ню Йорк и с център центъра на Земята (т. нар. големи окръжности). Така за геодезични линии, т.е. за "прави" върху сферата взимаме големите й окръжности. Нагледно е, че всеки две големи окръжности се пресичат. т.е. върху сферата няма успоредни "прави". Можем да конструираме и геометрия, в която има повече от една успоредна права минаваща през точка нележаща на дадената права.

Забележете, че тръгнахме от нагледни съображения, за да формулираме геометрически аксиоми. Обратният подход също е възможен: да формулираме първо аксиомата без да се грижим за нагледността и чрез логически изводи да стигнем до модел на теорията. В случая на множествата сме принудени да следваме този подход, защото нямаме лукса на нагледността - множествата не се разкарват из природата. (С изключение на един върховен лаф от една книга тип математика за малчугани: "Вчера в двора видях множество от мечки", каза Петьо, "множеството беше празно").

И така, Аксиомната Теория на Множествата на Цермело Френкел се състои от 9 аксиоми, от които ще споменем само няколко:

Аксиома за съществуването) Съществува поне едно множество.
Тука гневът ви е заслужен, изчетохте толкова глупости, за да ви кажа какво е множество, а най-накрая чисто и просто постулирахме съществуването му. Ми те така е, те и физиците не знаят какво е електрически ток, но въпреки това му мерят и големината, и напрежението.

Аксиома за отделянето) Нека М e множество (съществуването на което се гарантира от Аксиома за съществуването), а p e логическо свойство. Тогава всички елементи х принадлежащи на М, за които е изпълнено p, образуват множество. Това е приблизителна формулировка на аксиомата (не можем да дадем пълната, щото сте галфони). За по-точна формулировка трябва да кажем, че x не трябва да е свободна променлива в записа на p.

Аксиома за отделянето предотвратява образуването на ръселовото множество. От нея следва и съществуването на празното множество:
Нека М е множество (пак повтаряме такова съществува заради Аксиомата за съществуването). Нека p(x) = (x != x), т.е. х не е равно на х. Mножеството отделено от М чрез p наричаме празното множество.

Аксиома за чифта) Нека а и в са множества. Съществува множество, чиито елемени са а и в. Това множество наричаме чифт на а и в и записваме {а, в}. Ако а = в, записваме само {a} и наричаме това множество синглетона на a.

Ами да видим, колеги, какво туй тука точно значи, както казваше преподавателят ни по теория на множествата. Чрез аксиомата за отделянето образувахме празното множество 0. Аксиомата за чифта ни дава синглетона на 0: {0}, я, имаме си вече две множества - празното и синглетона на празното. Аксиомата за чифта ни казва, че можем да конструираме чифта им: {0, {0}}. Вече си имаме три множества: 0, {0}, {0, {0}}, които можем да си ги комбинираме ad infinitum и да получаваме нови и нови. Всъщност така можем да дефинираме естествените числа като:
0 = празното множество
1 = {0}
2 = {0, {0}}
и т.н.

Останалите аксиоми ще пропуснем засега, щото са значително по-сложни (да повтаряме ли, че сте галфони, и че няма да ги разберете?).

В асансьора на блока на физиците един ден видяхме написано "0 - мозък на математик", демек мозъкът на математика е празното множество. Възмутихме се от тази неистина и дописахме "празното множество заедно и аксиомите на Цермело-Френкел". Както видяхме с тях можем да получим естествени числа, а чрез тях - всичко! Ма физиците явно искаха да си отмъстят заради електрическия ток.

Бертранд Ръсел формулира парадокса си през 1901 и дава голям тласък на развитието на теория на множествата и на това да се формулират основните понятия на езика на множествата. Цермело и Френкел формулират Аксиомите в периода 1908 - 1922. Като цяло това дава голям тласък на математическата логика, за да подплати теоретически практически дисциплини като логическо програмиране и изкуствен интелект, теория на изчислимостта и прочие. Самият Бертранд Ръсел освен математик и логик е и философ. Когато прочетохме биографията му се замислихме за различните науки и отново стигнахме до очевидни факти. Математика е царица на точните науки, а информатиката е по-малката й и по-непослушна сестра; т. нар. софтуерно инжинерство е копелдакът в семейството родено от педерастията на кръг хора във ФМИ, но да не разваляме добрия тон. Аналогично, философията е царица на хуманитарните науки. Колебаем се дали можем да наредим психологията до нея. Причината е, че докато философите търсят истината, психолозите, особено булевардните, търсят, пфуууу, щастието и методи за добиването му. Търсенето на щастието ни напомня много за котките, които си гонят опашките - рано или късно си ги хващат, но само се въртят в кръг, а ако не ги гонят, опашките им сами ги следват.

Малко по-горе нарекохме галфони читателите, неизкушени от математиката. Надяваме се, че след изчитането на статията, вече сa изкушени.
Публикувана от rambius - събота 28 януари 2012 - 13:47:47 | Коментари: 11 |изпрати на приятел изглед за печат създай pdf с тази новина
Latest Forum Posts
  Тема Автор Преглеждани Отговори Последен отговор
PRESS PLAY ! (МУЗИКА) Unimportant 34778 1485 staran
сб апр 22 2017, 04:46 
МЪРДАТЕ ЛИ ОЩЕ БРЕ? (ВИСОКО ПРИОРИТЕТНИ) KiroGligorOFF 543 5 ннннн
вт апр 18 2017, 09:11 
Честит ПРАЗник! (ВИСОКО ПРИОРИТЕТНИ) ннннн 792 0 -
 
избрахме мюфтията! (ВИСОКО ПРИОРИТЕТНИ) cymen 839 0 -
 
Е-бането изчезнА! (ала-бала) cataphractus 1193 4 cataphractus
пн дек 21 2015, 09:27 
и тука е тъпо (ала-бала) bay_Spiridon 1964 19 xipona
чт сеп 03 2015, 11:57 
Толерантност (ала-бала) ннннн 1895 12 ннннн
вт юни 23 2015, 05:08 
Малко за глупаците (ВИСОКО ПРИОРИТЕТНИ) ннннн 1765 5 ннннн
вт юни 23 2015, 05:07 
РЕВОЛЮЦИЯ! (ала-бала) bay_Spiridon 1345 3 ннннн
вт юни 23 2015, 05:05 
Ако имаш избор, а той е труден... (ала-бала) staran 5396 134 staran
чт авг 21 2014, 04:28 
Теми: 2417 | Отговори: 87918 | Преглеждани: 3096320
Категории новини
Анкета

Дебел/а ли сте?

Само съм чувствително и пленително закръглен/а

Прилично дебел/а съм

По Коледа се притеснявам да не ме объркат и заколят

Простак! Аз съм фин/а манекен/ка

То в тая криза как да надебелея

Тази анкета е ограничена само за регистрирани потребители

гласувания: 23 коментари: 1
Предишни анкети
RSS Публикации
Нашите новини могат да бъдат показвани с ползването на RSS.
rss1.0
rss2.0
rdf
Latest Forum Posts
 16:46  PRESS PLAY !
 09:11  МЪРДАТЕ ..
 02:48  Честит П..
 08:23  избрахм..
 09:27  Е-бането..
 11:57  и тука е ..
 05:08  Толеран..
 05:07  Малко за..
 05:05  РЕВОЛЮЦ..
 04:28  Ако имаш..